Question

【題目】現定義：設是非零實常數，若對于任意的，都有，則稱函數為“關于的偶型函數”

（1）請以三角函數為例，寫出一個“關于2的偶型函數”的解析式，并給予證明

（2）設定義域為的“關于的偶型函數”在區間上單調遞增，求證在區間上單調遞減

（3）設定義域為的“關于的偶型函數”是奇函數，若，請猜測的值，并用數學歸納法證明你的結論

Answer 1

【答案】（1），答案不唯一（2）證明見解析（3），證明見解析

【解析】

（1）令，由于，則可證明；

（2）根據題意可知，再根據函數的單調性即可證明；

（3）由題得，可得結合數學歸納法得到，即可得證．

（1），

∴為“關于2的偶型函數”.

（2）.

任取則，因為函數在單調遞增，所以.所以函數在上單調遞減

（3）猜測數學歸納法證明：

1.當時因為是奇函數，所以得證

2.假設當，成立，

因為，

又∵奇函數，∴，

∴當時，，所以得證.