Question

定義域為R的函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱，當x∈[0，1]時，f（x）=x，且對任意x∈R都有f（x+2）=f（x），g（x）=

f(x)，x≥0 lg(-x)，x＜0

，則函數F（x）=g（x）-

1

2014

x的零點個數為（　　）

• A、1008
• B、2013
• C、2014
• D、2015

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：數形結合,函數的性質及應用

分析：由函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱，可畫出f（x）在[0，2]的圖象，再由周期性畫出f（x）（x≥0）的圖象，再畫出lg（-x）的圖象，及直線y=

1

2014

x，通過圖象觀察交點個數，即為函數零點個數．

解答： 解：由于函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱，
當x∈[0，1]時，f（x）=x，
畫出f（x）在[0，2]的圖象，
由于對任意x∈R都有f（x+2）=f（x），
則畫出f（x）（x≥0）的圖象，
再畫出lg（-x）的圖象，
及直線y=

1

2014

x，
通過圖象觀察x＜0時，有一個交點，x≥0時，每個周期都有兩個交點，
故共有1+2014=2015個交點．
故函數F（x）=g（x）-

1

2014

x的零點個數為2015．
故選D．

點評：本題考查分段函數的圖象和應用，考查函數的對稱性、周期性及運用，考查函數零點問題轉化為圖象交點個數，屬于中檔題．