Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

a

3

x3+bx2+4cx+d的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且f（x）的圖象在點(diǎn)p（1，m）處的切線(xiàn)的斜率為-6，且當(dāng)x=2時(shí)，f（x）有極值．
（1）求a，b，c，d的值；
（2）若x₁，x₂∈[-1，1]時(shí)，求證|f(x1)-f(x2)|≤

44

3

．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，得f（-x）=-f（x）從而可求b=0，d=0；利用在x=1處的切線(xiàn)方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線(xiàn)的斜率．從而問(wèn)題解決．
（2）把（1）求出的實(shí)數(shù)a、b、c、d的值代入函數(shù)中確定出解析式，當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f′（x）＜0，從而f（x）在[-1，1]上為減函數(shù)，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答：解：（1）由函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，得f（-x）=-f（x）
∴-

a

3

x3+bx2-4cx+d=-

a

3

x3-bx2-4cx-d，∴b=0，d=0．
∴f(x)=

a

3

x3+4cx，∴f'（x）=ax²+4c．
∴

f′(1)=a+4c=-6 f′(2)=4a+4c=0

，即

a+4c=-6 4a+4c=0

．∴a=2，c=-2．
（2）f(x)=

2

3

x3-8x，f/(x)=2x2-8，當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在[-1，1]上為減函數(shù)，若x₁，x₂∈[-1，1]時(shí)，
|f(x1)-f(x2)|≤|f(-1)-f(1)|=

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3

．

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)的性質(zhì)為載體，考查函數(shù)的解析式，考查利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是利用單調(diào)性確定函數(shù)的最值．