Question

設函數f(x)=

x-1

x

log2(x-1)-log2x（x＞1）．
（I）求函數f（x）的最小值；
（Ⅱ）若m，t∈R⁺，且

1

m

+

1

t

=1，求證：tlo

g

2

m+mlo

g

2

t≤mt；
（Ⅲ）若a1，a2，a3，…，a2n∈R+，且

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2n

=1，求證：

lo g   2 a1

a1

+

lo g   2 a2

a2

+

lo g   2 a3

a3

+…+

lo g   2 a2n

a2n

≤n．

Answer 1

分析：（I）求導數，確定函數的單調性，從而可求函數的最小值；
（Ⅱ）證明tlo

g

2

m+mlo

g

2

t≤mt，只要證明

log2m

m

+

log2t

t

≤1；
（Ⅲ）用數學歸納法，關鍵是證明當n=k+1時不等式也成立，同時使用歸納假設．

解答：（I）解：求導數可得：f′(x)=

1

x2

log2(x-1)（x＞1）
令f′（x）≥0，得x≥2，所以f（x）在（1，2）上遞減，在（2，+∞）上遞增．
所以f（x）_min=f（2）=-1．
（Ⅱ）證明：

log2m

m

+

log2t

t

=

log2m

m

-

log2 1 t

t

=

log2m

m

-（1-

1

m

）log2(1-

1

m

)
=-[

m-1

m

log2(m-1)-log2m]
由（I）知當x＞1時，

x-1

x

log2(x-1)-log2x≥-1，
又m，t∈R⁺，且

1

m

+

1

t

=1，∴m＞1
∴

m-1

m

log2(m-1)-log2m≥-1
∴

log2m

m

+

log2t

t

≤1
∴tlo

g

2

m+mlo

g

2

t≤mt．
（Ⅲ）證明：用數學歸納法證明如下：
1°當n=1時，由（Ⅱ）可知，不等式成立；
2°假設n=k時不等式成立，
即若a1，a2，a3，…，a2k∈R+，且

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2k

=1時，
不等式

lo g   2 a1

a1

+

lo g   2 a2

a2

+

lo g   2 a3

a3

+…+

lo g   2 a2k

a2k

≤k成立
現需證當n=k+1時不等式也成立，
即證：若a1，a2，a3，…，a2k+1∈R+，且

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2k+1

=1時，不等式

lo g   2 a1

a1

+

lo g   2 a2

a2

+

lo g   2 a3

a3

+…+

lo g   2 a2k+1

a2k+1

≤k+1成立．
證明如下：設

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2k

=x，則

1

xa1

+

1

xa2

+

1

xa3

+…+

1

xa2k

=1
∴

lo g   2 xa1

xa1

+

lo g   2 xa2

xa2

+

lo g   2 xa3

xa3

+…+

lo g   2 xa2k

xa2k

≤k
∴

-lo g   2 xa1

a1

+

-lo g   2 xa2

a2

+

-lo g   2 xa3

a3

+…+

-lo g   2 xa2k

a2k

≥-kx
∴

-lo g   2 a1

a1

+

-lo g   2 a2

a2

+

-lo g   2 a3

a3

+…+

-lo g   2 a2k

a2k

≥-kx+xlog₂x…①
同理

-lo g   2 a2k+1

a2k+1

+

-lo g   2 a2k+2

a2k+2

+…+

-lo g   2 a2k+1

a2k+1

≥-k(1-x)+（1-x）log₂（1-x）…②
由①+②得：

-lo g   2 a1

a1

+

-lo g   2 a2

a2

+

-lo g   2 a3

a3

+…+

-lo g   2 a2k+1

a2k+1

≥-k+[xlog₂x+（1-x）log₂（1-x）]
又由（Ⅱ）令

1

m

=x，則

1

t

=1-x，其中∈x（0，1），
則有

log2m

m

+

log2t

t

≤1
∴xlog₂x+（1-x）log₂（1-x）≥-1
∴-k+[xlog₂x+（1-x）log₂（1-x）]≥-k-1
∴

lo g   2 a1

a1

+

lo g   2 a2

a2

+

lo g   2 a3

a3

+…+

lo g   2 a2k+1

a2k+1

≤k+1
∴當n=k+1時，原不等式也成立．
綜上，由1°和2°可知，原不等式均成立．

點評：本題考查導數知識的運用，考查不等式的證明，考查數學歸納法的運用，解題的關鍵是數學歸納法的第2步，有難度．