Question

（2013•自貢一模）設函數f(x)=x-ln(x+

1+x2

)．
（Ⅰ） 討論函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）若x≥0時，恒有f（x）≤ax³，試求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）令an=

1

9

(

1

2

)6n+ln[(

1

2

)2n+

1+( 1 2 )4n

](n∈N*)，試證明：a1+a2+a3+…+an＜

1

3

．

Answer 1

分析：（I）先求導數，再求出f'（x）＞0時x的范圍；并且求出f'（x）＜0時x的范圍；進而解決單調性問題．
（II）令g（x）=f（x）-ax³=x-ln（x+

1+x 2

）-ax³．則g′（x）=

1+x 2 (1-3ax 2)-1

1+x 2

，令h（x）=

1+x 2

(1-3ax 2)-1，求其導數，下面對a進行分類討論：（1）當a≥

1

6

時，（2）當0＜a＜

1

6

時，（3）當a≤0時，h′（x）＞0，最后綜合得出實數a的取值范圍．
（III）在（II）中取a=

1

9

，則x∈[0，

3

3

]，時，x-ln（x+

1+x 2

）＞

1

9

x³，即

1

9

x³+ln（x+

1+x 2

）＜x，令x=（

1

2

）²ⁿ，利用等比數列求和公式即可證明結論．

解答：解：（I）函數的定義域為R，
由于f′（x）=1-

1

1+x 2

≥0，
知f（x）是R上的增函數．
（II）令g（x）=f（x）-ax³=x-ln（x+

1+x 2

）-ax³．
則g′（x）=

1+x 2 (1-3ax 2)-1

1+x 2

，
令h（x）=

1+x 2

(1-3ax 2)-1，
則h′（x）=

(1-6a)x-9ax 2

1+x 2

=

x(1-6a-9ax 2)

1+x 2

，
（1）當a≥

1

6

時，h′（x）≤0，從而h（x）是[0，+∞）上的減函數，因h（0）=0，則x≥0時，h（x）≤0，也即g′（x）≤0，進而g（x）是[0，+∞）上的減函數，
注意g（0）=0，則x≥0時，g（x）≤0，也即f（x）≤ax³，
（2）當0＜a＜

1

6

時，在[0，

1-6a 9a

]，h′（x）＞0，從而x∈[0，

1-6a 9a

]時，也即f（x）＞ax³，
（3）當a≤0時，h′（x）＞0，同理可知：f（x）＞ax³，
綜合，實數a的取值范圍[

1

6

，+∞）．
（III）在（II）中取a=

1

9

，則x∈[0，

3

3

]，時，x-ln（x+

1+x 2

）＞

1

9

x³，即

1

9

x³+ln（x+

1+x 2

）＜x，
令x=（

1

2

）²ⁿ，則an=

1

9

(

1

2

)6n+ln[(

1

2

)2n+

1+( 1 2 )4n

](n∈N*)＜（

1

2

）²ⁿ，
∴a1+a2+a3+…+an＜

1 4 (1-( 1 4 ) n)

1- 1 4

＜

1

3

點評：本小題主要考查導數在最大值、最小值問題中的應用、數列與函數的綜合等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．解決此類問題的關鍵是熟練掌握求導該生并且利用導數解決函數的單調區間問題．