Question

已知函數f（e^x）=x+e^x，g₀（x）=e^f（x），若g_i（x）=g_i-1′（x）（i=1，2，3，…），則g₂₀₁₄（x）=

 

．

Answer 1

考點：導數的運算

專題：導數的概念及應用

分析：令e^x=t（t＞0），求得則f（t）=lnt+t，則求出g₀（x）=xe^x，再根據g_i（x）=g_i-1′（x），遞推找到規律，問題得以解決．

解答： 解：令e^x=t（t＞0），則x=lnt（t＞0），
則f（t）=lnt+t，
所以g0(x)=ef(x)=ex+lnx=xex，
則由gi(x)=

g

′ i-1

(x)(i=1，2，3，…)
知g1(x)=g0′(x)=ex+xex，g2(x)=g1′(x)=ex+ex+xex=2ex+xex，g3(x)=g2′(x)=3ex+xex，g4(x)=g3′(x)=4ex+xex…
所以g₂₀₁₄（x）=（2014+x）e^x
故答案為：（2014+x）e^x

點評：本題考查函數解析式的求法及其導函數的求解．