Question

關于下列結論：
（1）平面內到兩定點A（-2，0）和B（2，0）距離之和為4的點M的軌跡是橢圓；
（2）平面內與一個定點A（1，3）和一條定直線l：2x+3y-11=0距離相等的點M的軌跡是拋物線；
（3）在平面直角坐標系中，若方程m（x²+y²+2y+1）=（x-2y+3）²表示的曲線為橢圓，則實數m的取值范圍是（

5

，+∞）；
（4）若不等式ax²+bx+c＞0的解集是{x|-4＜x＜1}，則不等式b（x²-1）+a（x+3）+c＞0的解集為{x|-

4

3

＜x＜1}；
（5）已知數列{a_n}滿足a₁=33，a_n+1-a_n=2n，則

an

n

的最小值為

21

2

． 
其中正確的是（　　）

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）平面內到兩定點A（-2，0）和B（2，0）距離之和為4的點M的軌跡是線段AB；
（2）點A（1，3）位于直2x+3y-11=0上，可得動點的軌跡為過A點與直線2x+y-4=0垂直的直線；
（3）先將方程化簡，可得看成是軌跡上點到（0，-1）的距離與到直線x-2y+3=0的距離的比，利用曲線為橢圓，離心率0＜e＜1，即可求得m的取值范圍；
（4）先解出b=3a，c=-4a，再解不等式b（x²-1）+a（x+3）+c＞0；
（5）由累加法求出a_n=33+n²-n，所以

an

n

=

33

n

+n-1，設f（n）=

33

n

+n-1，由此能導出n=5或6時f（n）有最小值，借此能得到

an

n

的最小值．

解答： 解：（1）平面內到兩定點A（-2，0）和B（2，0）距離之和為4的點M的軌跡是線段AB，故不正確；
（2）∵點A（1，3）位于直2x+3y-11=0上，∴動點的軌跡為過A點與直線2x+y-4=0垂直的直線，故不正確；
（3）方程m（x²+y²+2y+1）=（x-2y+3）²可化為

x2+(y+1)2 |x-2y+3|

12+(-2)2

=

5 m

，可以看成是軌跡上點到（0，-1）的距離與到直線x-2y+3=0的距離的比，即為離心率．∵方程m（x²+y²+2y+1）=（x-2y+3）²表示的曲線為橢圓
∴0＜

5 m

＜1，∴m＞5，故不正確；
（4）由題意，

-4+1=- b a (-4)×1= c a

且a＜0，∴b=3a，c=-4a，∴不等式為3x²+x-4＜0，∴不等式b（x²-1）+a（x+3）+c＞0的解集為{x|-

4

3

＜x＜1}，正確；
（5）a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=2[1+2+…+（n-1）]+33=33+n²-n，∴

an

n

=

33

n

+n-1
設f（n）=

33

n

+n-1，令f′（n）=

-33

n2

-1＞0，則f（n）在（

33

，+∞）上是單調遞增，在（0，

33

）上是遞減的，∵n∈N₊，∴當n=5或6時f（n）有最小值．又∵

a5

5

=

53

5

，

a6

6

=

63

6

=

21

2

，∴

an

n

的最小值為

a6

6

=

21

2

，故正確．
故選：B．

點評：本題考查軌跡方程，考查命題真假判斷，考查學生分析解決問題的能力，涉及知識點多，綜合性強．