Question

已知定點F（0，1）和直線l₁：y=-1，過定點F與直線l₁相切的動圓的圓心為點C．
（Ⅰ）求動點C的軌跡方程；
（Ⅱ）過點F的直線l₂交軌跡于兩點P、Q，交直線l₁于點R，求

RP

•

RQ

最小值，并求此時的直線l₂的方程．

Answer 1

考點：軌跡方程,平面向量數量積的運算

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）根據點G到點F的距離等于它到l₁的距離，依據拋物線的定義可知點G的軌跡是以F為焦點，l₁為準線的拋物線，進而求得其軌跡方程．
（2）設出直線l₂的方程與拋物線方程聯立消去y，設出P，Q的坐標，根據韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂的表達式，進而可得點R的坐標，表示出

RP

•

RQ

，根據均值不等式求得其最小值．

解答： 解：（1）由題設點G到點F的距離等于它到l₁的距離，
∴點G的軌跡是以F為焦點，l₁為準線的拋物線，
∴所求軌跡的方程為x²=4y；
（2）由題意直線l₂的方程為y=kx+1，
與拋物線方程聯立消去y得x²-4kx-4=0．
記P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
∵直線PQ的斜率k≠0，易得點R的坐標為（-

2

k

，-1），
∴

RP

•

RQ

=（1+k²）x₁x₂+（

2

k

+2k）（x₁+x₂）+

4

k2

+4=4（k²+

1

k2

）+8≥16，當且僅當k²=1時取到等號，
∴

RP

•

RQ

的最小值為16．此時直線l₂的方程為x+y-1=0或x-y+1=0．

點評：本題考查拋物線方程，考查了直線與圓錐曲線的關系，考查基本不等式的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．