Question

. （本小題滿分12分）

已知定義在R上的函數的圖像關于原點對稱，且x=1時，f(x)取極小值．

(Ⅰ)求f(x)的解析式；

(Ⅱ)當x∈[-1，1]時，圖像上是否存在兩點，使得在此兩點處的切線互相垂直?證明你的結論．

Answer 1

解：(Ⅰ) 因為函數的圖像關于原點對稱，

所以對任意恒成立，

即對任意恒成立，

所以恒成立，故，…………………3分

故，

又時，取極小值，所以，且，

所以………………①

……………………②

解得：，；

所以，（）…………………………………………………6分

（Ⅱ）當時，圖像上不存在兩點使得過此兩點處的切線互相垂直.

證明如下：（方法1，用反證法）

假設在的圖像上存在兩點，，使得在此兩點處的切線互相垂直，由(Ⅰ) 可知，且在兩點處的切線斜率均存在.

由假設則有，…………………………8分

從而，

另一方面，，所以，所以，

與前式顯然矛盾.所以，

當時，圖像上不存在兩點使得在此兩點處的切線互相垂直.………………12分

（方法2）

設，為的圖像上兩點，由(Ⅰ) 可知，

且在點和點處的兩條切線的斜率均存在.

不妨設在點處的切線斜率為，在點處的切線斜率為，

則 ，；………………8分

所以  ，

由題意，，

所以，即

綜上所述，當時，圖像上不存在兩點使得在此兩點處的切線互相垂直. ……12分

解析:

略