Question

【題目】（題文）（江蘇省南京師大附中2018屆高三高考考前模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}均不是常數(shù)列，若a1＝b1＝1，且a1，2a2，4a4成等比數(shù)列， 4b2，2b3，b4成等差數(shù)列．

（1）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)m，n是正整數(shù)，若存在正整數(shù)i，j，k（i＜j＜k），使得ambj，amanbi，anbk成等差數(shù)列，求m＋n的最小值；

（3）令cn＝，記{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，{ }的前n項(xiàng)和為An．若數(shù)列{pn}滿足p1＝c1，且對(duì)n≥2, n∈N*，都有pn＝＋Ancn，設(shè){pn}的前n項(xiàng)和為Sn，求證：Sn＜4＋4lnn．

Answer 1

【答案】（1）（2） 或 （3）見解析

【解析】分析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d（d≠0），等比數(shù)列在公比為q（q≠1）根據(jù)等差等比的通項(xiàng)公式化為首項(xiàng)和公差公比的關(guān)系求出公差公比記得到通項(xiàng)；（2）由ambj，amanbi，anbk成等差數(shù)列，有， 即 ，化簡得， 可得 ， 即，然后結(jié)合m，n進(jìn)行討論求值即可；（3）結(jié)合錯(cuò)位相減法求和，在結(jié)合函數(shù)的思維構(gòu)造不等式可得結(jié)論.

解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d（d≠0），等比數(shù)列在公比為q（q≠1），由題意得：

解得d＝1，q＝2，

所以.

（2）由ambj，amanbi，anbk成等差數(shù)列，

有，

即 ，

由于，且為正整數(shù)，所以，

所以，

可得 ， 即，

①當(dāng)1≤m≤2時(shí)，不等式不成立；

②當(dāng) 或 時(shí) 成立；

③當(dāng)時(shí)，，，即，則有；

所以的最小值為6，

當(dāng)且僅當(dāng)，且 或 時(shí)取得．

（3）由題意得：

（1）

（2）

（1）—（2）得

，

求得 ，

所以 ，

設(shè)，則，

所以 在上單調(diào)遞增，有，

可得 .

當(dāng)，且N*時(shí)，，

有 ，

所以，

可得，

所以.