Question

【題目】已知函數．

（1）討論的單調性；

（2）若函數有兩個不同的極值點、，求證：；

（3）設，函數的反函數為，令，、、，，且，若時，對任意的且，恒成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）具體詳見解析；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

（1）求得函數的定義域和導數，對與的大小進行分類討論，分析導數的符號變化，進而可得出函數的單調區間；

（2）求得，由題意可知方程有兩個不等的正根、，可求得的取值范圍，并列出韋達定理，進而可得出，然后構造函數，利用導數證明出即可；

（3）根據題意得出，進而可得，、、，，且，由已知條件得出，分析出函數在上的單調性，可得出，進而可求得的最小值.

（1）函數的定義域為，

①當時，由得；由，得.

此時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為；

②當時，由得；由得或.

此時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為和；

③當時，對任意的恒成立，此時，函數在單調遞減；

④當時，由得；由得或.

此時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為和.

綜上所述，當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為；

當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為和；

當時，函數的單調遞減區間為，無單調遞增區間；

當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為和；

（2）證明：，

由已知函數有兩個不同的極值點、，知有兩個不等的正實數根，

即有兩個不等正實數根，即，解得，

，

令，，

，

因為，所以，，

所以在單調遞增，，結論得證；

（3）當時，，則，

所以，、、，，且，

對，恒成立，

即，即，

因為在單調遞減，所以也遞減，

當時，，

即對任意且，恒成立，

顯然當時，，即，即，所以的最小值為．