Question

函數f(x)=

∫

x 0

(t2-4t)dt在[-1，5]上的最大和最小值情況是（　　）

• A、有最大值0，但無最小值
• B、有最大值0和最小值-

  32

  3

• C、有最小值-

  32

  3

  ，但無最大值
• D、既無最大值又無最小值

Answer 1

分析：首先由不定積分的基本求法求出f（x）的函數表達式

1

3

x³-2x²，對函數求導，利用導數求研究函數y=x²-4x在[-1，5]上的單調性，判斷出最大值與最小值位置，代入算出結果．

解答：解：f（x）=∫₀^x（t²-4t）dt=（

1

3

t³-2t²）|₀^x=

1

3

x³-2x²
知y'=x²-4x，
令y'＞0，解得x＞4，或x＜0，
故函數y=

1

3

x³-2x²，在[0，4]上減，在[4，5]和[-1，0]上增，
由此得函數在[-1，5]上的最大值和最小值．
故選B．

點評：本題考查積分的基本求法，考查用導數研究函數的單調性求最值，本題是導數一章中最基本的題型．