Question

給定函數f(x)=

∫

x 0

(2t-m)dt+2m-3（x＞0，m為實常數），g(x)=

5

2

x3，
（Ⅰ）若函數f（x）在[2，4]上的最大值為1，求實數m的取值集合A；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若g（x）≥ax在區間[

2

2

，

2

]上恒成立時實數a的取值集合為B，全集為R，
求（?_RA）∩（?_RB）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據積分公式求出函數f（x），利用f（x）在[2，4]上的最大值為1，即求實數m的取值集合A；
（Ⅱ）根據g（x）≥ax在區間[

2

2

，

2

]上恒成立，建立條件關系，然后利用集合的基本運算進行計算即可．

解答：解：（Ⅰ）函數f(x)=

∫

x 0

(2t-m)dt+2m-3=（t²-mt）|

x 0

+2m-3=x²-mx+2m-3=（x-

m

2

）²-

m2

4

+2m-3，
∵f（2）=1，
∴函數f（x）在[2，4]上的最大值為1，只要對稱軸

m

2

≥3，
∴m≥6，
即集合A=[6，+∞）．
當

m

2

＜6，即m＜6時，f_max（x）=f（4）=13-2m=1，解得m=6，不合題意．
（Ⅱ）要使g（x）≥ax在區間[

2

2

，

2

]上恒成立，
只需要a≤(

5

2

x2)min=

5

4

，
故集合B=（-∞，

5

4

]，
∴?_RA=（-∞，6），?_RB=（

5

4

，+∞），
即（?_RA）∩（?_RB）=（

5

4

，6）．

點評：本題主要考查集合的基本運算，以及積分的基本計算，要求熟練掌握函數的積分公式，考查學生的計算能力．