Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，側棱底面， 垂直于和，為棱上的點，，.

（1）若為棱的中點，求證：//平面；

（2）當時，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；

（3）在第（2）問條件下，設點是線段上的動點，與平面所成的角為，求當取最大值時點的位置.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）即點N在線段CD上且

【解析】

（1）取線段SC的中點E，連接ME，ED．可證是平行四邊形，從而有，則可得線面平行；

（2）以點A為坐標原點，建立分別以AD、AB、AS所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，求出兩平面與平面的法向量，由法向量夾角的余弦值可得二面角的余弦值；

（3）設，其中，求出，由MN與平面所成角的正弦值為與平面的法向量夾角余弦值的絕對值可求得結論．

（1）證明：取線段SC的中點E，連接ME，ED．

在中，ME為中位線，∴且，

∵且，∴且，

∴四邊形AMED為平行四邊形．

∴．

∵平面SCD，平面SCD，

∴平面SCD．

（2）解：如圖所示以點A為坐標原點，建立分別以AD、AB、AS所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則，，，，，

由條件得M為線段SB近B點的三等分點．

于是，即，

設平面AMC的一個法向量為，則，

將坐標代入并取，得．

另外易知平面SAB的一個法向量為，

所以平面AMC與平面SAB所成的銳二面角的余弦為．

（3）設，其中．

由于，所以．

所以，

可知當，即時分母有最小值，此時有最大值，

此時，，即點N在線段CD上且．