Question

【題目】已知函數f（x）= x2+（a+1）x+2ln（x﹣1）．
（1）若曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線與直線2x﹣y+1=0平行，求出這條切線的方程；
（2）討論函數f（x）的單調區間；
（3）若對于任意的x∈（1，+∞），都有f（x）＜﹣2，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，

得切線斜率為k=f'（2）=3a+3，

據題設，k=2，所以 ，故有 ，

所以切線方程為y﹣f（2）=2（x﹣2），

即6x﹣3y﹣10=0，

（2）解：

當a=0時， ，

由于x＞1，所以 ，

可知函數f（x）在定義區間（1，+∞）上單調遞增，

當a≠0時， ，

若a＞0，則 ，

可知當x＞1時，有f'（x）＞0，

函數f（x）在定義區間（1，+∞）上單調遞增，

若a＜0，則 ，

得當 時，f'（x）＞0；

當 時，f'（x）＜0．

所以，函數f（x）在區間 上單調遞增，

在區間 上單調遞減．

綜上，當a≥0時，函數f（x）的單調遞增區間是定義區間（1，+∞）；

當a＜0時，函數f（x）的單調增區間為 ，減區間為 ，

（3）解：當a≥0時，考查f（2）=4a+2≥2＞0，不合題意，舍；

當a＜0時，由（Ⅱ）知 ．

故只需 ，即 ．

令t=﹣a，則不等式為 ，且t＞0．

構造函數 ，

則 ，

知函數g（t）在區間（0，+∞）上單調遞增．

因為g（1）=4ln1+3﹣2﹣1=0，所以當t＞1時，g（1）＞0，

這說明不等式 的解為t＞1，即得a＜﹣1．

綜上，實數a的取值范圍是（﹣∞，﹣1）

【解析】（1）由 ，得切線斜率為k=f'（2）=2a+3，據題設，k=2，所以 ，故有 ，由此能求出切線方程．（2）由 ，知當a=0時， ，由于x＞1，所以 ，由此能夠討論函數f（x）的單調區間．（3）當a≥0時，考查f（2）=4a+2≥2＞0，不合題意，舍；當a＜0時，由（2）知 ．故只需 ，即 ．由此能求出實數a的取值范圍．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．