Question

【題目】一個大于1的自然數，除了1和它本身外，不能被其他自然數整除，則稱這個數為質數．質數的個數是無窮的．設由所有質數組成的無窮遞增數列的前項和為，等差數列1，3，5，7，…中所有不大于的項的和為．

（Ⅰ）求和；

(Ⅱ)判斷和的大小，不用證明；

（Ⅲ）設，求證：，，使得．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)11,36 (Ⅱ)見解析；（Ⅲ）見解析.

【解析】

（Ⅰ）由題意直接求得p5和f（5）；

（Ⅱ）分別取n＝1，2，3，4，5．求得Sn和f（n），比較大小得結論；

（Ⅲ）取值驗證n≤4時，命題成立．當n≥5時，設k是使得k2≤Sn成立的最大自然數，只需證（k+1）2＜Sn+1．可得1+3+5+…+（2k﹣1），f（n）＝1+3+5+…+pn，結合（Ⅱ）可知，當n≥5時，Sn＜f（n），得到pn＞2k﹣1，從而pn+1＞2k+1．進一步得到．

(Ⅰ)，

；

(Ⅱ)當時，，，；

當時，，，；

當時，，，；

當時，，，．

所以當時，．

當時，，，．

不難看出，當時，．

（Ⅲ）因為，，，，，

所以當時，，使得；

當時，，使得；

當時，，使得；

當時，，使得

所以時，命題成立．

當時，設是使得成立的最大自然數，只需證．

因為 ，

，

由(Ⅱ)可知，當時，，

所以，從而

所以，即．

綜上可知，命題成立．