Question

【題目】設函數圖象上不同兩點，處的切線的斜率分別是，，規定（為線段的長度）叫做曲線在點與點之間的“彎曲度”，給出以下命題：

①函數圖象上兩點與的橫坐標分別為和，則；

②存在這樣的函數，其圖象上任意不同兩點之間的“彎曲度”為常數；

③設,是拋物線上不同的兩點，則 ；

④設, 是曲線（是自然對數的底數）上不同的兩點，則．

其中真命題的個數為（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】

由新定義，利用導數求出函數y＝sinx、y＝x2在點A與點B之間的“彎曲度”判斷①、③正確；舉例說明②是正確的；求出曲線y＝ex上不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）之間的“彎曲度”，判斷④錯誤．

對于①，由y＝sinx，得y′＝cosx，

則kA＝cos1，kB＝cos（﹣1）＝cos1，則|kA﹣kB|＝0，即φ（A，B）＝0，①正確；

對于②，如y＝1時，y′＝0，則φ（A，B）＝0，②正確；

對于③，拋物線y＝x2的導數為y′＝2x，yA＝xA2，yB＝xB2，

∴yA﹣yB＝xA2﹣xB2＝（xA﹣xB）（xA+xB），

則φ（A，B）2，③正確；

對于④，由y＝ex，得y′＝ex，φ（A，B），

由不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2），可得φ（A，B）1，∴④錯誤；

綜上所述，正確的命題序號是①②③．

故選：C．