【題目】已知正整數數列
滿足：
，
，
（
）.
（1）已知
，
，試求
、
的值；
（2）若
，求證：
；
（3）求
的取值范圍.
【答案】（1）
；（2）詳見解析；（3）
【解析】
（1）根據遞推式賦值逆推，分別求出
即可求出
的值；
（2）根據遞推式賦值求出
的值，即可找出數列
的規律，由此得證；
（3）依據
，討論
與
的大小關系即可得出．
（1）令
得，
，解得
；
令
得，
，解得
；
令
得，
，解得
；
令
得，
，解得
；
所以．
（2）證明：令得，
，因為數列各項為正整數，
2019的正整數約數有1，3，673，2019，因此
的值可能為3，673，2019，即
或
或
.
當時，
，
，所以不符題意，應舍去；
當時，
，
，所以不符題意，應舍去；
當時，
，
，
，
，……
所以
，當
為奇數時，
；當為偶數時，
；
故
，不等式成立．
（3）由（1）（2）可知，當
或
可以滿足題意，所以
或
．
．
①當
時，奇數項都相等，偶數項都相等且
，即有
，因為數列各項為正整數，且
，所以或或
或
此時或；
②當
時，奇數項遞增，偶數項遞增，而
，隨著 的增大，存在
時，
，這樣與條件矛盾，故不成立；
③當
時，奇數項遞減，偶數項遞減，而
，隨著 的增大，存在時，
，這樣與條件矛盾，故不成立；
綜上，或，即
．
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知動點
到直線
的距離比到定點
的距離大1.
（1）求動點的軌跡
的方程.
（2）若
為直線
上一動點，過點作曲線的兩條切線
，
，切點為
，
，
為
的中點.
①求證：
軸；
②直線是否恒過一定點？若是，求出這個定點的坐標；若不是，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在如圖所示的幾何體中，EA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為等腰梯形，
，且
，AD＝AE＝1，∠ABC＝60°，EF=
AC，且EF
AC.
（Ⅰ）證明：AB⊥CF；
（Ⅱ）求二面角B﹣EF﹣D的余弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
（
），點
在
的焦點
的右側，且
到的準線的距離是到距離的3倍，經過點的直線與拋物線交于不同的
、
兩點，直線
與直線
交于點
，經過點且與直線垂直的直線
交
軸于點
.
（1）求拋物線的方程和的坐標；
（2）判斷直線
與直線
的位置關系，并說明理由；
（3）橢圓
的兩焦點為
、
，在橢圓外的拋物線上取一點
，若
、
的斜率分別為
、
，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=ln
+ax﹣1（a≠0）．
（I）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）已知g（x）+xf（x）=﹣x，若函數g（x）有兩個極值點x1，x2（x1＜x2），求證：g（x1）＜0．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓:
的左、右點分別為
點
在橢圓上，且
(1)求橢圓
的方程；
(2)過點(1,0)作斜率為
的直線
交橢圓于M、N兩點，若
求直線的方程；
(3)點P、Q為橢圓上的兩個動點，
為坐標原點，若直線
的斜率之積為
求證:
為定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】甲乙兩人分別投擲兩顆骰子與一顆骰子，設甲的兩顆骰子的點數分別為
與
，乙的骰子的點數為
，則擲出的點數滿足
的概率為________（用最簡分數表示）.
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