Question

【題目】已知動點到直線的距離比到定點的距離大1.

（1）求動點的軌跡的方程.

（2）若為直線上一動點，過點作曲線的兩條切線，，切點為，，為的中點.

①求證：軸；

②直線是否恒過一定點？若是，求出這個定點的坐標；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見解析；②.

【解析】

（1）由題意知，動點到直線的距離等于到定點的距離，符合拋物線的定義，求軌跡的方程為；

（2）①設動點，，，利用導數求出切線的方程分別為：、，從而有，為方程的兩根，證明點的橫坐標與點的橫坐標相等，從而證得軸；

②由①中的結論，把直線的方程寫成含有參數的形式，即

并把方程看成關于的一次函數，從而得到定點為。

（1）由動點到直線的距離比到定點的距離大1得，

動點到直線的距離等于到定點的距離，

所以點的軌跡為頂點在原點、開口向上的拋物線，其中，

軌跡方程為.

（2）①設切點，，，所以切線的斜率為，

切線.

設，則有，化簡得.

同理可得.

所以，為方程的兩根.

則有，，所以.

因此軸.

② 因為，

所以.又因為，

所以直線，即.

即直線過定點.