Question

【題目】已知函數．

（1）若函數y＝f(x)為偶函數，求k 的值；

（2）求函數y＝f(x)在區間[0，4]上的最大值；

（3）若方程f(x)=0 有且僅有一個根，求實數k 的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，其最大值為；當時，其最大值為0．

（3）．

【解析】

（1）根據偶函數的定義，即可求出k 的值；

（2）根據定義去掉絕對值，將函數寫成分段式，即可知函數的最大值等于，討論即得；

（3）顯然，可知是方程的一個根，因為方程f(x)=0 有且僅有一個根，故當時．方程無解，當時，無解，即可求出實數的取值范圍．

（1）因為函數為偶函數且定義域為，所以，令，

即，解得，檢驗符合題意．故．

（2）當時，，可知由兩段拋物線的一部分組成，因為這兩個拋物線的開口均向上，所以其最大值為，

，，，顯然，

當時，其最大值為；當時，其最大值為0．

（3）因為是方程的一個根，方程有且僅有一個根，所以當時，方程無解，且當時，無解，

故且，即，實數的取值范圍是．