Question

【題目】如圖，在矩形中，，為邊的中點，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且使平面平面.

（1）證明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）由,可得,利用平面平面,可得平面,則,由折疊知,進而得證；

（2）以的中點為坐標原點,以的方向為軸正方向,過點分別做和的平行線,分別為軸和軸,建立如圖所示空間直角坐標系,分別求得平面的法向量和平面的法向量,進而利用數量積求解即可

（1）證明:由題意,又,所以,

又平面平面,且平面平面,所以平面,

故,又,且,所以平面

（2）以的中點為坐標原點,以的方向為軸正方向,過點分別做和的平行線,分別為軸和軸,建立如圖所示空間直角坐標系,

則,,,,

設為平面的法向量,則有

則,即,可取,

設為平面的法向量,則有

則,即,可取,

所以,

則二面角余弦值為