Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）如果方程有兩個(gè)不相等的解，且，證明：.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得，再對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，解不等式，即可得答案；

（2）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，至多一個(gè)根，不符合題意；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則.不妨設(shè)，只要證，再利用函數(shù)的單調(diào)性，即可證得結(jié)論.

（1）.

①當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；

單調(diào)遞增.

綜上：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

（2）由（1）知，

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，至多一個(gè)根，不符合題意；

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則.

不妨設(shè)，

要證，即證，即證，即證.

因?yàn)?/span>在單調(diào)遞增，即證，

因?yàn)?/span>，所以即證，即證.

令

，

.

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，又，

所以時(shí)，，即，

即.

又，所以，所以.