Question

【題目】已知函數。

（I）當時，證明：當時，；

（II）若當時，恒成立，求a的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

(1)首先確定函數的單調性，然后結合函數的最小值證明題中的結論即可；

(2)首先求得函數的導函數， 然后對其二次求導，分類討論和兩種情況求解a的取值范圍即可.

（1），當a=0時，，

當x≥0時，，所以y=f(x)在x≥0時單調遞增，

又因為f(0)=0，f(x)≥f(0)=0.

（2），記，

①當時，x≥0時，，

∴ y=g(x)在x≥0時單調遞增，

g(x)≥g(0)=0，即f＇(x)≥f＇(0)，所以y=f(x)在x≥0時單調遞增，f(x)≥f(0)=0.

②當時，令，得，

當時，，

∴在單調遞減，

∴ g(x)≤g(0)=0，即f＇(x)≤f＇(0)=0，在單調遞減，

∴ f(x)＜f(0)=0，與題設矛盾．

綜上所述，．