Question

【題目】已知函數.

（1）判斷函數的零點的個數并說明理由；

（2）求函數零點所在的一個區間，使這個區間的長度不超過；

（3）若，對于任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）一個，理由見解析；（2）；.

【解析】

（1）分析函數的單調性，結合零點存在定理可得出結論；

（2）先可求得函數的零點所在的一個區間為，然后利用二分法可得出的一個零點所在的區間，且這個區間的長度不超過；

（3）由題意可知，，利用函數的單調性求出該函數在區間的最大值，將問題轉化為關于的不等式對任意的恒成立，可得出，由此可解出實數的取值范圍.

（1）由題易知：函數的定義域為，且在上連續，

，，，

函數和在上都是增函數，

所以，函數在上是增函數，

因此，函數在上有且只有一個零點；

（2）設函數的零點為，由（1）知：，，，

取，，

，且， 即為符合條件的區間；

（3）當時，對于任意的，不等式恒成立等價于

，，.

由函數在上是增函數，可知，

對任意恒成立，對任意恒成立，

，解得，

因此，的取值范圍是.