Question

【題目】已知橢圓的上頂點為，且過點．

（1）求橢圓的方程及其離心率；

（2）斜率為的直線與橢圓交于兩個不同的點，當直線的斜率之積是不為0的定值時，求此時的面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）1

【解析】

試題（1）由題意易得，將點代入到橢圓方程可得的值，即可得橢圓的方程及其離心率；（2）設直線的方程為，聯立直線與橢圓的方程，運用韋達定理，將化簡為，根據其為定值得的值，然后利用弦長公式將表示為關于的函數，利用二次函數的性質可得結果.

試題解析：（1）由題意可得．

又在橢圓上，所以，解得，

所以橢圓的方程為，

所以，故橢圓的離心率.

（2）設直線的方程為．

由，消去，得，

所以，

設，則． ，

由題意，為定值，所以，即，解得．

此時

， 點到直線的距離．

．

顯然，當（此時，滿足），即時，取得最大值，最大值為．