Question

【題目】已知函數(shù),其中,.

(1)函數(shù)的圖象能否與x軸相切?若能,求出實(shí)數(shù)a;若不能,請(qǐng)說明理由.

(2)若在處取得極大值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 答案見解析(2)

【解析】

（1）假設(shè)函數(shù)的圖象與x軸相切于，根據(jù)相切可得方程組，看方程是否有解即可；（2）求出的導(dǎo)數(shù)，設(shè)()，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及在處取得極大值求出a的范圍即可.

(1)函數(shù)的圖象不能與x軸相切,理由若下:

.假設(shè)函數(shù)的圖象與x軸相切于

則即

顯然,,代入中得,無實(shí)數(shù)解.

故函數(shù)的圖象不能與x軸相切.

(2)()

,,

設(shè)(),

恒大于零.

在上單調(diào)遞增.

又,,,

∴存在唯一,使,且

時(shí),時(shí),

①當(dāng)時(shí),恒成立,在單調(diào)遞增,

無極值,不合題意.

②當(dāng)時(shí),可得當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.

所以在內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增,

所以在處取得極小值,不合題意.

③當(dāng)時(shí),可得當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.

所以在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減,

所以在處取得極大值,符合題意.

此時(shí)由得即,

綜上可知,實(shí)數(shù)a的取值范圍為.