Question

【題目】已知，.

（1）討論的單調區間；

（2）當時，證明：.

Answer 1

【答案】（1）在上單調遞減；在和上單調遞增.（2）見解析

【解析】

（1）先求函數的定義域，再進行求導得，對分成，，三種情況討論，求得單調區間；

（2）要證由，等價于證明，再對分，兩種情況討論；證明當時，不等式成立，可先利用放縮法將參數消去，轉化成證明不等式成立，再利用構造函數，利用導數證明其最小值大于0即可。

（1）的定義域為，

，

當時，由，得；

由，得，

所以在上單調遞減，在上單調遞增；

當時，由，得或；

由，得；

所以在上單調遞減，在和上單調遞增；

當時，由，得在上單調遞增；

當時，由，得或；由，得；

所以在上單調遞減；在和上單調遞增.

（2）由，得，

①當時，，，不等式顯然成立；

②當時，，由，得，

所以只需證：，

即證，令，

則，，

令，

則，

令，

則，

所以在上為增函數，

因為，，

所以存在，，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

又因為，，

當時，，在上單調遞減，

當時，，在上單調遞增，

所以，

所以，

所以原命題得證