Question

【題目】已知圓： 經過橢圓： 的左右焦點，且與橢圓在第一象限的交點為，且三點共線，直線交橢圓于， 兩點，且（）.

（1）求橢圓的方程；

（2）當三角形的面積取得最大值時，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】試題分析：（1）求橢圓標準方程，由圓與軸的交點，可求得，利用三點共線，由是圓的直徑，從而，利用勾股定理可求得，從而由橢圓的定義可求得，于是得，橢圓方程即得；

（2）是確定的， ，說明，于是直線斜率已知，設出其方程為，代入橢圓方程，消去得的二次方程，從而有（分別是的橫坐標），由直線與圓錐曲線相交的弦長公式可求得弦長，再由點到直線距離公式求出到直線的距離，可計算出的面積，最后利用基本不等式可求得面積的最大值，及此時的值，得直線方程．

解析：

（1）

如圖，圓經過橢圓的左、右焦點，，所以，解得,因為， ，三點共線，所以為圓的直徑， 所以,因為，所以.所以,由，得．所以橢圓的方程為.

（2）由（1）得，點的坐標為，因為,所以直線的斜率為，設直線的方程為,聯立，得,設，由，得．因為

所以, 又點到直線的距離為，.當且僅當，即時，等號成立,所以直線的方程為或.