Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)存在與直線平行的切線，求實數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)，若有極大值點，求證： .

Answer 1

【答案】（1）; （2）詳見解析.

【解析】試題分析：

（1）本題考查導數(shù)的幾何意義，求出導函數(shù)，由題意方程在上有實根，利用二次方程根的分布知識可求得的范圍；

（2）由題意可知是的兩根，從而有，分析知極大值點滿足，于是都可用表示，也即不等式中三個參數(shù)可化為關(guān)于一個參數(shù)的不等式，這樣下面可利用導數(shù)研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)證明出題設(shè)不等式．注意范圍．

解析：

（1）因為,因為函數(shù)存在與直線平行的切線，所以在上有解,即在上有解，也即在上有解，所以，得,故所求實數(shù)的取值范圍是.

（2）因為,因為,

①當時，單調(diào)遞增無極值點，不符合題意.

②當或時，令，設(shè)的兩根為和，因為為函數(shù)的極大值點，所以，又，所以，所以，則,要證明，只需要證明因為，，令，,所以，記，，則,當時，，當時，，所以，所以,所以在上單調(diào)遞減，所以，原題得證.