Question

【題目】已知函數，其中，e是自然對數的底數.

（1）若是上的增函數，求實數a的取值范圍；

（2）若，證明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）由是上的增函數等價于恒成立，得，求的最大值，即可得到本題答案；

（2）由，證明當時，的最小值大于0，即可得到本題答案.

解：（1），是上的增函數等價于恒成立.

令，得，令.以下只需求的最大值.

求導得，令，，

是上的減函數，又，故1是的唯一零點，

當，，，遞增；

當，，，遞減；

故當時，取得極大值且為最大值，所以.

（2），令，

以下證明當時，的最小值大于0.

求導得.

①當時，，；

②當時，，令.

則，又，

取且使，即，則，

因為，故存在唯一零點，即有唯一的極值點且為極小值點，又，且，即，

故，因為，故是上的減函數.

所以，所以.

綜上，當時，總有.