Question

【題目】已知動點P到點的距離與它到直線l：的距離d的比值為，設動點P形成的軌跡為曲線C.

（Ⅰ）求曲線C的方程；

（Ⅱ）過點的直線與曲線C交于A，B兩點，設，，過A點作，垂足為，過B點作，垂足為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）設，根據直接法求出曲線的方程即可；

（Ⅱ）當直線的斜率為0時，或3，不成立；當直線的斜率不為0時，設直線AB的方程為，，，聯立直線和橢圓的方程，得：，根據韋達定理得出，，進而求出的范圍，再根據可得出的取值范圍.

（1）設，由題意得，整理化簡得，

（Ⅱ）當直線的斜率為0時，或3，不成立；

當直線的斜率不為0時，設直線AB的方程為，，，

消去x，化簡整理得，，

，，

∵，∴，即，

∴，①

，②

由①②消去，可得.

∵，∴，

∴，解得，

∴，

∴.