Question

規定C^m_x=

x(x-1)…(x-m+1)

m！

，其中x∈R，m是正整數，且C⁰_x=1，這是組合數C^m_n（n、m是正整數，且m≤n）的一種推廣．
（1）求C³_-15的值；
（2）設x＞0，當x為何值時，

C 3 x

(C 1 x )2

取得最小值？
（3）組合數的兩個性質；
①C^m_n=C^n-m_m． ②C^m_n+C^m-1_n=C^m_n+1．
是否都能推廣到C^m_x（x∈R，m是正整數）的情形？若能推廣，則寫出推廣的形式并給出證明；若不能，則說明理由．
變式：規定A_x^m=x（x-1）…（x-m+1），其中x∈R，m為正整數，且A_x⁰=1，這是排列數A_n^m（n，m是正整數，且m≤n）的一種推廣．
（1）求A_-15³的值；
（2）排列數的兩個性質：①A_n^m=nA_n-1^m-1，②A_n^m+mA_n^m-1=A_n+1^m．（其中m，n是正整數）是否都能推廣到A_x^m（x∈R，m是正整數）的情形？若能推廣，寫出推廣的形式并給予證明；若不能，則說明理由；
（3）確定函數A_x³的單調區間．

Answer 1

分析：（1）根據所給的組合數的推廣式子，把組合數中的數字代入公式，寫出公式的表示式，最后做出結果．
（2）根據組合數的推廣式子，寫出要求的結果，約分化簡成最簡形式，根據基本不等式求出式子的最小值，并求出取到最小值時對應的x的值．
（3）由題意知第一個性質不能推廣，第二個式子能夠推廣，第一個性質只要舉出反例就能夠推翻，第二個式子可以進行證明，寫出組合數的表示形式，化簡整理，得到等式成立．
變式（1）根據所給的排列數的推廣式子，把組合數中的數字代入公式，寫出公式的表示式，最后做出結果
（2）兩個式子都能夠推廣，分別證明兩個性質是成立的，當n=1時，驗證式子左右兩邊相等，當n不小于2時根據推廣的排列數公式證明，得到結論成立．
（3）根據排列數公式，寫出排列數的代數形式，本題是一個關于自變量的3次函數，要求單調區間需要對函數求導，根據導函數與零的關系得到函數的單調性，得到函數的單調區間．

解答：解：（1）

C

3 -15

=

(-15)(-16)(-17)

3!

=-680．
（2）

C 3 x

( C 1 x )2

=

x(x-1)(x-2)

6x2

=

1

6

(x+

2

x

-3)．
∵x＞0，x+

2

x

≥2

2

．
當且僅當x=

2

時，等號成立．
∴當x=

2

時，

C 3 x

( C 1 x )2

取得最小值．
（3）性質①不能推廣，例如當x=

2

時，

C

1 2

有定義，但

C

2 -1 2

無意義；
性質②能推廣，它的推廣形式是C_x^m+C_x^m-1=C_x+1^m，m是正整數．
事實上，當m=1時，有C_x¹+C_x⁰=x+1=C_x+1¹．
當m≥2時．

C

m x

+

C

m-1 x

=

x(x-1)…(x-m+1)

m!

+

x(x-1)…(x-m-2)

(m-1)!

=

x(x-1)…(x-m+2)

(m-1)!

[

x-m+1

m

+1]=

x(x-1)…(x-m+2)(x+1)

m!

=

C

m x+1

．

變式：解：（Ⅰ）A_-15³=（-15）（-16）（-17）=-4080；
（Ⅱ）性質①、②均可推廣，推廣的形式分別是：
①A_x^m=xA_x-1^m-1，②A_x^m+mA_x^m-1=A_x+1^m（x∈R，m∈N₊）
事實上，在①中，當m=1時，左邊=A_x¹=x，右邊=xA_x-1⁰=x，等式成立；
當m≥2時，左邊=x（x-1）（x-2）（x-m+1）
=x[（x-1）（x-2）（（x-1）-（m-1）+1）]=xA_x-1^m-1，
因此，①A_x^m=xA_x-1^m-1成立；
在②中，當m=1時，左邊=A_x¹+A_x⁰=x+1=A_x+1¹=右邊，等式成立；
當m≥2時，
左邊=x（x-1）（x-2）（x-m+1）+mx（x-1）（x-2）（x-m+2）
=x（x-1）（x-2）（x-m+2）[（x-m+1）+m]=（x+1）x（x-1）（x-2）[（x+1）-m+1]=A_x+1^m=右邊，
因此②A_x^m+mA_x^m-1=A_x+1^m（x∈R，m∈N₊）成立．
（Ⅲ）先求導數，得（A_x³）′=3x²-6x+2．
令3x²-6x+2＞0，解得x＜

3- 3

3

或x＞

3+ 3

3

．
因此，當x∈(-∞，

3- 3

3

)時，函數為增函數，
當x∈(

3+ 3

3

，+∞)時，函數也為增函數．
令3x²-6x+2＜0，解得

3- 3

3

＜x＜

3+ 3

3

．
因此，當x∈(

3- 3

3

，

3+ 3

3

)時，函數為減函數．
所以，函數A_x³的增區間為(-∞，

3- 3

3

)，(

3+ 3

3

，+∞)
函數A_x³的減區間為(

3- 3

3

，

3+ 3

3

)

點評：本題考查組合數和排列數的公式的推廣，考查排列數和組合數的性質在推廣以后是否適用，考查利用排列數和組合數的公式求解題的數值，考查函數的單調區間的求法，本題是一個綜合題目，也是一個易錯題．