Question

規定

C

m x

=

x(x-1)…(x-m+1)

m!

，其中x∈R，m是正整數，且

C

0 x

=1，這是組合數

C

m n

（n、m是正整數，且m≤n）的一種推廣．
（1）求

C

3 -15

的值；
（2）設x＞0，當x為何值時，

C 3 x

( C 1 x )2

取得最小值？
（3）組合數的兩個性質；①

C

m n

=

C

n-m n

；②

C

m n

+

C

m-1 n

=

C

m n+1

．是否都能推廣到

C

m x

（x∈R，m是正整數）的情形？若能推廣，則寫出推廣的形式并給出證明；若不能，則說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可得

C

3 -15

=

(-15)(-16)(-17)

3!

，運算求得結果．
（2）根據

C 3 x

( C 1 x )2

=

x(x-1)(x-2)

6x2

=

1

6

(x+

2

x

-3)，再利用基本不等式求得獅子的最小值．
（3）性質①不能推廣，通過舉反例可知．性質②能推廣，它的推廣形式是

C

m x

+

C

m-1 x

=

C

m x+1

，x∈R，m是正整數．
根據題中的規定化簡運算可以證得．

解答：解：（1）由題意可得

C

3 -15

=

(-15)(-16)(-17)

3!

=-680．（4分）
（2）

C 3 x

( C 1 x )2

=

x(x-1)(x-2)

6x2

=

1

6

(x+

2

x

-3)．（6分）
∵x＞0，故有 x+

2

x

≥2

2

．
當且僅當x=

2

時，等號成立．∴當x=

2

時，

C 3 x

( C 1 x )2

取得最小值．（8分）
（3）性質①不能推廣，例如當x=

2

時，

C

1 2

有定義，但

C

2 -1 2

無意義； （10分）
性質②能推廣，它的推廣形式是

C

m x

+

C

m-1 x

=

C

m x+1

，x∈R，m是正整數．（12分）
事實上，當m=1時，有

C

1 x

+

C

0 x

=x+1=

C

1 x+1

．
當m≥2時.

C

m x

+

C

m-1 x

=

x(x-1)…(x-m+1)

m!

+

x(x-1)…(x-m-2)

(m-1)!

=

x(x-1)…(x-m+2)

(m-1)!

[

x-m+1

m

+1]=

x(x-1)…(x-m+2)(x+1)

m !

=

C

m x+1

．（14分）

點評：本題主要考查組合數的性質、二項式系數的性質，這是一道綜合性較強的題目，對學生的邏輯思維能力、推理論證
能力以及計算能力，均有較好的考查．在課本基本題型（組合數的性質）的基礎上有拓廣創新，屬于中檔題．