Question

規定

C

m x

=

x(x-1)…(x-m+1)

m!

，其中x∈R，m是正整數，且C_x⁰=1，這是組合數C_n^m（n、m是正整數，且m≤n）的一種推廣．
（1） 求C_-15⁵的值；
（2）組合數的兩個性質：①C_n^m=C_n^n-m；②C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m．是否都能推廣到C_x^m（x∈R，m是正整數）的情形？
若能推廣，則寫出推廣的形式并給出證明；若不能，則說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據所給的組合數公式，寫出C_-15⁵的值，這里與平常所做的題目不同的是組合數的下標是一個負數，在本題的新定義下，按照一般組合數的公式來用．
（2）C_n^m=C_n^n-m不能推廣到C_x^m的情形，舉出兩個反例

C

1 2

，

C

2 -1 2

無意義；C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m能推廣到C_x^m的情形，可以利用組合數的公式來證明，證明的方法同沒有推廣之情相同．

解答：解：（1）C_-15⁵=

-15(-16)(-17)(-18)(-19)

1•2•3•4•5

=-11628；
（2）C_n^m=C_n^n-m不能推廣到C_x^m的情形，
例如

C

1 2

，

C

2 -1 2

無意義；
C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m能推廣到C_x^m的情形，
C_x^m+C_x^m-1=

x(x-1)(x-m+1)

m !

+

x(x-1)(x-m+2)

(m-1) !

=

x(x-1)(x-m+1)+x(x-1)(x-m+2)•m

m !

=

x(x-1)(x-m+2)(x-m+1+m)

m !

=

(x+1)x(x-1)(x-m+2)

m !

=C_x+1^m．

點評：本題考查組合數公式，不是在一般的情況下應用組合數公式，而是對于組合數公式推廣使用，是一個中檔題，題目解起來容易出錯．這種題目對于學生幫助不大．