Question

規定

C

mx

=

x(x-1)…(x-m+1)

m!

，其中x∈R，m是正整數，且C_X⁰=1．這是組合數C_n^m（n，m是正整數，且m≤n）的一種推廣．
（1）求C_-15³的值；
（2）組合數的兩個性質：①C_n^m=C_n^n-m；②C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m是否都能推廣到C_x^m（x∈R，m∈N^*）的情形？若能推廣，請寫出推廣的形式并給予證明；若不能請說明理由．
（3）已知組合數C_n^m是正整數，證明：當x∈Z，m是正整數時，C_x^m∈Z．

Answer 1

（1）由題意C_-15³=

-15×(-16)×(-17)

3!

=-C₁₇³=-680   …（4分）
（2）性質①C_n^m=C_n^n-m不能推廣，例如x=

2

時，

C

1 2

有定義，但

C

2 -1 2

無意義；
性質②C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m 能推廣，它的推廣形式為C_x^m+C_x^m-1=C_x+1^m，x∈R，m∈N^*
證明如下：當m=1時，有C_x¹+C_x⁰=x+1=C_x+1¹；   …（1分）
當m≥2時，有C_x^m+C_x^m-1=

x(x-1)…(x-m+1)

m!

+

x(x-1)…(x-m+2)

(m-1)!

=

x(x-1)…(x-m+2)

(m-1)!

×(

(x-m+1)

m

+1)=

x(x-1)…(x-m+1)(x+1)

m!

=C_x+1^m，（6分）
（3）由題意，x∈Z，m是正整數時
當x≥m時，組合數C_x^m∈z成立；
當0≤x＜m 時，

C

mx

=

x(x-1)(x-2)???0???(x-m+1)

m!

=0∈Z，結論也成立；
當x＜0時，因為-x+m-1＞0，∴C_x^m=

x(x-1)…(x-m+1)

m!

=（-1）^m

(-x+m-1)…(-x+1)(-x)

m!

=（-1）^mC_-x+m-1^m∈z（7分）
綜上所述當x∈Z，m是正整數時，C_x^m∈Z