Question

如圖所示，△ABC是邊長為1的正三角形，且點P在邊BC上運動．當

PA

•

PC

取得最小值時，則cos∠PAB的值為

 

．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：如圖所示，A(0，

3

2

)，B（-

1

2

，0），C(

1

2

，0)．設P（x，0），(-

1

2

≤x≤

1

2

)．利用數量積和二次函數的單調性可得

PA

•

PC

(-x，

3

2

)•(

1

2

-x，0)=x2-

1

2

x=(x-

1

4

)2-

1

16

．當x=

1

4

時，當

PA

•

PC

取得最小值．再利用向量的夾角公式即可得出．

解答： 解：如圖所示，
A(0，

3

2

)，B（-

1

2

，0），C(

1

2

，0)．
設P（x，0），(-

1

2

≤x≤

1

2

)．
∴

PA

•

PC

(-x，

3

2

)•(

1

2

-x，0)=x2-

1

2

x=(x-

1

4

)2-

1

16

．
當x=

1

4

時，當

PA

•

PC

取得最小值．
此時

AP

=(

1

4

，-

3

2

)，

AB

=(-

1

2

，-

3

2

)，

AP

•

PB

=-

1

8

+

3

4

=

5

8

，
|

AP

|=

( 1 4 )2+(- 3 2 )2

=

13

4

，
∴cos∠PAB=

AP • AB

| AP | | AB |

=

5 8

13 4

=

5 13

26

．
故答案為：

5 13

26

．

點評：本題考查了數量積和二次函數的單調性、向量的夾角公式，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．