Question

已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線與橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)是，點(diǎn)在軸上的射影恰好是橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓另一個(gè)焦點(diǎn)是，且
（1）求橢圓的方程；
（2）直線過(guò)點(diǎn)，且與橢圓交于兩點(diǎn)，求的內(nèi)切圓面積的最大值

Answer 1

（1）設(shè)橢圓方程為，點(diǎn)在直線上，且點(diǎn)在軸上的射影恰好是橢圓的右焦點(diǎn)， 則點(diǎn)為 
，而為，則有
則有，所以 
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232015385751423.png" style="vertical-align:middle;" />
所以 
所以橢圓方程為：-----------------------5分
（2）由（1）知,過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則
的周長(zhǎng)為，則（為三角形內(nèi)切圓半徑），當(dāng)的面積最大時(shí)，其內(nèi)切圓面積最大
設(shè)直線方程為：，，則
 
所以 
令，則，所以，而在上單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)，的面積最大值為3
結(jié)合，得的最小值為 

略