Question

【題目】如圖，橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上．

（1）求橢圓的方程；

（2）若A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點，直線與直線交于點P，，求直線的斜率．

Answer 1

【答案】（1）（2）1

【解析】

（1）根據題意得到，將點代入橢圓方程，結合，得到關于的方程組，解出，得到答案；（2）根據得到，從而得到，根據對稱性得到與橢圓的另一個交點的坐標與的關系，從而得到，得到，再結合直線與橢圓聯立后得到的，，從而得到關于的斜率的方程，得到答案.

解（1）因為橢圓的左、右焦點分別為，，

所以，

把點代入橢圓方程，得到

而在橢圓中，

解得，

所以所求的橢圓的標準方程為：.

（2）設交橢圓于另一點M，

因為，，

所以，

所以，所以，

根據對稱性可知點和點關于原點對稱，

所以

所以得到，

設，

所以，

設直線，代入橢圓方程得

，

，，

所以有

所以，

解得，

由，可知，

故.

所以的斜率為1．