Question

【題目】如圖，已知三棱錐O—ABC的側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA＝1，OB＝OC＝2，E是OC的中點(diǎn)．

（1）求異面直線BE與AC所成角的余弦值；

（2）求二面角A—BE—C的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）。

【解析】

（1）先以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線直線BE與AC的方向向量，最后利用向量的夾角公式計(jì)算即得異面直線BE與AC所成的角的余弦值；

（2）先分別求得平面ABE的法向量和平面BEC的一個法向量，再利用夾角公式求二面角的余弦值即可．

（1）以為原點(diǎn)，，，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則有，，，.

，

.

.

由于異面直線與所成的角是銳角，故其余弦值是.

（2）.

設(shè)平面的法向量為，

則由，得

取.

同理可得平面的一個法向量為，

.

由于二面角的平面角是與的夾角的補(bǔ)角，其余弦值是.