Question

若不等式|x+

1

x

|＞|a-2|+1對于一切非零實數(shù)x均成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

A．2＜a＜3

B．1＜a＜2

C．1＜a＜3

D．1＜a＜4

Answer 1

分析：不等式|x+

1

x

|＞|a-2|+1對于一切非零實數(shù)x均成立?|a-2|+1＜|x+

1

x

|min．，利用基本不等式可得|x+

1

x

|min．再利用絕對值不等式的解法即可得出．

解答：解：∵不等式|x+

1

x

|＞|a-2|+1對于一切非零實數(shù)x均成立，∴|a-2|+1＜|x+

1

x

|min．
∵|x+

1

x

|=|x|+|

1

x

|≥2，當(dāng)且僅當(dāng)|x|=1時取等號．
∴|a-2|+1＜2，即|a-2|＜1，
∴-1＜a-2＜1，解得1＜a＜3．
∴實數(shù)a的取值范圍是（1，3）．
故選C．

點評：正確把問題等價轉(zhuǎn)化和利用基本不等式、解絕對值不等式等是解題的關(guān)鍵．