Question

【題目】如圖，三棱柱中，側面是菱形，.

（I）證明：；

（II）若，求直線與平面所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（I）見解析； （II） .

【解析】

（I）連接交于點，連接，通過證明以及，證得平面，由此證得，根據垂直平分線的性質可知.（II）先證得平面，由此以為原點建立空間直角坐標系，通過計算直線的方向向量以及平面的法向量，由此求得線面角的正弦值，進而求得余弦值.

（I）證明：連接交于點，連接，

因為四邊形為菱形，所以且為中點,

所以平面，

平面，

為中點，為的垂直平分線，

（II）已知，，故

由（I）知則，

又

又平面

故以為原點，、、所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系

則、、、

設平面的一個法向量為，則

，設

設直線與平面所成角為

則

故直線與平面所成角的余弦值為