Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的最小值；

（2）當時，記函數(shù)的所有單調(diào)遞增區(qū)間的長度為，所有單調(diào)遞減區(qū)間的長度為，證明：．（注：區(qū)間長度指該區(qū)間在軸上所占位置的長度，與區(qū)間的開閉無關．）

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）首先求函數(shù)的導數(shù)，然后判斷函數(shù)的單調(diào)性，最后求最值；

（2）根據(jù)（1）首先求函數(shù)的零點，從而去掉的絕對值，分段求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最后再比較單調(diào)區(qū)間的長度.

解（1）因為，所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，

所以.

（2）由（1）可知，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增

又，，

所以存在，使得，

則當時，，當時，

所以，

記，

當時，，所以

在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

當或時，

當時即在單調(diào)遞增.

因為，所以

則當時，令，有

所以當時，，在單調(diào)遞減

綜上，在與單調(diào)遞減，在與單調(diào)遞增.

所以，又

所以，即