Question

已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：

x2

16

+

y2

12

=1的左、右焦點，定點A（3，1），動點P（x，y）在橢圓上，下列命題正確的是

 

（請?zhí)钌险�確命題的序號）
 ①定點A（3，1）在橢圓C的外部；
②三角形PF₁F₂的周長為定值； 
③|PF₁|•|PF₂|的最大值為16；
④|PA|+2|PF₂|最小值為5；
⑤|PA|-2|PF₁|的最小值為-11．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,簡易邏輯

分析：由橢圓方程求出長半軸和半焦距．
把A點坐標(biāo)代入橢圓方程判斷①；由橢圓的定義判斷②；由橢圓的定義結(jié)合不等式求最值判斷③；把2|PF₂|轉(zhuǎn)化為橢圓上的動點P到右準(zhǔn)線的距離，結(jié)合點到直線的距離判斷④；把|PF₁|利用橢圓定義轉(zhuǎn)化為2a-
|PF₂|，結(jié)合④中的結(jié)論判斷⑤．

解答： 解：橢圓C：

x2

16

+

y2

12

=1的長半軸a=4，c=

a2-b2

=

16-12

=2．
對于①，把A（3，1）代入

x2

16

+

y2

12

=1，
∵

32

16

+

12

12

=

31

48

＜1，
∴定點A（3，1）在橢圓C的內(nèi)部，命題①錯誤；
對于②，∵動點P（x，y）在橢圓上，且F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C的左、右焦點，
∴三角形PF₁F₂的周長為定值2a+2c=12，命題②正確；
對于③，∵|PF₁|+|PF₂|=2a=8，
∴|PF₁|•|PF₂|≤(

|PF1|+|PF2|

2

)2=42=16，命題③正確；
對于④，橢圓的離心率e=

1

2

，由橢圓的第二定義知，2|PF₂|為橢圓上的動點P到右準(zhǔn)線的距離，
則|PA|+2|PF₂|最小值為P到右準(zhǔn)線的距離，等于

a2

c

-3=

16

2

-3=5，命題④正確；
對于⑤，由橢圓的定義知，|PF₁|=2a-|PF₂|，
∴|PA|-2|PF₁|=|PA|-2（2a-|PF₂|）=-4a+|PA|+2|PF₂|=-16+5=-11，命題⑤正確．
∴正確的命題是②③④⑤．
故答案為：②③④⑤．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了橢圓的基本性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．