Question

已知定義在(－1，1)上的函數f(x)滿足f＝1，且對x、y∈(－1，1)時，有f(x)－f(y)＝．

(1)判斷f(x)在(－1，1)上的奇偶性，并證明之；

(2)令x₁＝，x_n+1＝，求數列{f(x_n)}的通項公式；

(3)設T_n為數列{}的前n項和，問是否存在正整數m，使得對任意的n∈N*，有T_n＜成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，則說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝0． 　　又當x＝0時，f(0)－f(y)＝f(－y)，即f(－y)＝－f(y)． 　　∴對任意x∈(－1，1)時，都有f(－x)＝－f(x)．∴f(x)為奇函數． 　　(2)∵{xn}滿足x1＝，xn+1＝， 　　∴0＜xn＜1．∴f(xn+1)＝f． 　　∵f(x)在(－1，1)上是奇函數，∴f(－xn)＝－f(xn)，∴f(xn+1)＝2f(xn)，即．∵{f(xn)}是以f(x1)＝f＝1為首項，以2為公比的等比數列， 　　∴f(xn)＝2n－1． 　　(3)Tn＝． 　　假設存在正整數m，使得對任意的n∈N*，有Tn＜成立，即2－對n∈N*恒成立． 　　只需≥2，即m≥10，故存在正整數m，使得對n∈N*，有Tn＜成立． 　　此時m的最小值為10．