Question

已知定義在區間（-1，1）上的函數f(x)=

ax+b

1+x2

為奇函數，且f(

1

2

)=

2

5

．
（1）求實數a，b的值；
（2）用定義證明：函數f（x）在區間（-1，1）上是增函數；
（3）解關于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

分析：（1）利用函數f(x)=

ax+b

1+x2

為奇函數，且f(

1

2

)=

2

5

，可得f(-

1

2

)=-f(

1

2

)=-

2

5

，從而得到關于a、b的方程組，解之即可；
（2）利用單調性的定義即可證明；
（3）利用f（x）為奇函數，將不等式f（t-1）+f（t）＜0轉化為f（t）＜-f（t-1）=f（1-t），再利用函數f（x）在區間（-1，1）上是增函數得到關于t的不等式 組，解之即可．

解答：解：（1）∵f(x)=

ax+b

1+x2

為奇函數，且f(

1

2

)=

a 2 +b

1+( 1 2 )2

=

2

5

∴f(-

1

2

)=

- a 2 +b

1+(- 1 2 )2

=-f(

1

2

)=-

2

5

，解得：a=1，b=0．
∴f(x)=

x

1+x2

（2）證明：在區間（-1，1）上任取x₁，x₂，令-1＜x₁＜x₂＜1，f(x1)-f(x2)=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

x1(1+x22)-x2(1+x12)

(1+x12)(1+x22)

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

∵-1＜x₁＜x₂＜1
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，（1+x₁²）＞0，（1+x₂²）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
故函數f（x）在區間（-1，1）上是增函數．
（3）∵f（t-1）+f（t）＜0
∴f（t）＜-f（t-1）=f（1-t）
∵函數f（x）在區間（-1，1）上是增函數
∴

t＜1-t -1＜t＜1 -1＜1-t＜1

∴0＜t＜

1

2

故關于t的不等式的解集為(0，

1

2

)．

點評：本題考查函數奇偶性與單調性的性質應用，著重考查學生理解函數奇偶性與用定義證明單調性及解方程，解不等式組的能力，屬于中檔題．