Question

【題目】已知函數f（x）=|x+m|+|2x﹣1|（m∈R）．
（1）當m=﹣1時，求不等式f（x）≤2的解集；
（2）設關于x的不等式f（x）≤|2x+1|的解集為A，且[1，2]A，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當m=﹣1時，函數f（x）=|x﹣1|+|2x﹣1|，不等式f（x）≤2，即|x﹣1|+|2x﹣1|≤2，

故有 ①，或 ②，或 ③．

解①求得0≤x＜ ，解②求得 ≤x≤1，解③求得1＜x≤ ．

綜上可得，不等式f（x）≤2的解集為{x|0≤x≤ }

（2）解：由題意可得，當x∈[1，2]時，關于x的不等式f（x）≤|2x+1|恒成立，

即|x+m|+|2x﹣1|≤|2x+1|恒成立，即|x+m|≤（2x+1）﹣（2x﹣1）=2 恒成立，

∴﹣2≤x+m≤2 恒成立，即﹣x﹣2≤m≤2﹣m 恒成立，∴﹣3≤m≤0，

即實數m的取值范圍為[﹣3，0]

【解析】（1）當m=﹣1時，把要解的不等式等價轉化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．（2）由題意可得，當x∈[1，2]時，關于x的不等式f（x）≤|2x+1|恒成立，即﹣2≤x+m≤2 恒成立，即﹣x﹣2≤m≤2﹣m 恒成立，由此可得實數m的取值范圍．
【考點精析】利用絕對值不等式的解法對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．