Question

【題目】設函數 ，.

(1)當時，求曲線在處的切線方程；

(2)求函數在上的最小值(為自然對數的底數)；

(3)是否存在實數，使得對任意正實數均成立？若存在，求出所有滿足條件的實數的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）;（2）詳見解析（3）當且僅當時，符合題意

【解析】

(1)由題意，求得函數的導數，進而求得，，即可求得切線的方程；

(2)求得函數的導數，分類討論得到函數的單調性，進而可求解函數的最值。

(3)由題意，令，求得函數的導數，令，利用導數求得函數的單調性和最值，即可作出求解。

(1)因為函數，且，

所以，

所以

所以，

所以曲線在處的切線方程是，即

(2)因為函數，所以

1°當時，，所以在上單調遞增.

所以函數在上的最小值是

2°當時，令，即，所以

令，即，所以

（i）當，即時，在上單調遞增，

所以在上的最小值是

（ii）當，即時，在上單調遞減，在上單調

遞增，所以在上的最小值是

（iii）當，即時，在上單調遞減，

所以在上的最小值是

綜上所述，當時，在上的最小值是

當時，在上的最小值是

當時，在上的最小值是.

(3)令，

則，且

若，即，得.

若時，，

令，則，則在上是增函數，

而，則有

當時，，當時，，

所以當時，有極小值，也是最小值，則有

成立

當時，，（），

則，

所以在內存在，使，即當時，有，

則在是減函數，則有，即這與不符，

則不成立；

當時，

，

則在是增函數，則有，即這與不符；

當時，則，則有

，這與不符合.

綻上所述，當且僅當時，在定義域上恒成立.