Question

【題目】已知橢圓的離心率為，點在橢圓上.

(1)求橢圓的方程；

(2)若不過原點的直線與橢圓相交于兩點，與直線相交于點，且是線段的中點，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）橢圓的方程為；（2）面積的最大值為：.

【解析】試題分析：（1）將坐標代入橢圓方程，與離心率聯立方程組解得（2）先根據點差法求AB斜率，再設AB點斜式方程，與橢圓方程聯立方程組，利用韋達定理以及弦長公式求弦長AB，根據點到直線距離公式得三角形的高，代入三角形面積公式，最后根據基本不等式求最值.

試題解析：(1) 由橢圓C:的離心率為,點在橢圓上得解得所以橢圓的方程為.

(2)易得直線的方程為.

當直線的斜率不存在時，的中點不在直線上，故直線的斜率存在.

設直線的方程為,與聯立消得

,

所以.

設,則,.

由,所以的中點,

因為在直線上，所以,解得

所以,得,且,

又原點到直線的距離,

所以，

當且僅當時等號成立，符合,且.

所以面積的最大值為：.