Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面，底面為平行四邊形，，且，，是棱的中點.

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值；

（3）在線段上(不含端點)是否存在一點，使得二面角的余弦值為？若存在，確定的位置；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析.（2）.（3）存在，

【解析】

（1）連接交于點，連接，可證，從而得線面平行；

（2）由題意以為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，可用向量法求出線面角；

（3）在（2）基礎(chǔ)上，設(shè)，求出平面和平面（（2）中已有）法向量，由法向量夾角與二面角的關(guān)系可求得．

（1）連接交于點，連接.

∵是平行四邊形，∴是的中點.又是的中點，∴

又平面，平面，∴平面；

（2）以為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，.

設(shè)平面的法向量為.

∵，

∴即

不妨取，得

又.

設(shè)直線與平面所成的角為，

則，

即直線與平面所成角的正弦值為．

（3）假設(shè)在線段上(不含端點)存在一點，使得二面角的余弦值為.連接.設(shè)， 得.

設(shè)平面的法向量為.

∵，

∴即

不妨取，得

設(shè)二面角的平面角為，

則.

化簡得，

解得，或.

∵二面角的余弦值為，

∴.

∴在線段上存在一點，且，使得二面角的余弦值為.