Question

【題目】已知動圓過點，并且與圓：相外切，設動圓的圓心的軌跡為.

（1）求曲線的方程；

（2）過動點作直線與曲線交于兩點，當為的中點時，求的值；

（3）過點的直線與曲線交于兩點，設直線：，點，直線交于點，求證：直線經過定點，并求出該定點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）4；（3）證明見解析，定點的坐標為.

【解析】

（1）利用動圓經過的點及外切關系可求；

（2）設出直線方程，聯立方程組，結合中點公式，得到，進而可求；

（3）設出直線方程，聯立方程組，結合韋達定理，證明直線經過定點.

（1）設動圓的圓心，半徑為，則由題意可得，即，

因為，所以點的軌跡是以為焦點的雙曲線的右支，且，

所以曲線的方程為.

（2）當直線的斜率不存在時，，此時；

當直線的斜率存在時，設直線的方程為，，

聯立得，

，，

.

因為為的中點，所以，代入曲線方程得；

整理可得；

，

因為恰為雙曲線的漸近線，且其中一條漸近線的傾斜角為，

所以，所以.

綜上可得.

（3）證明：當直線的斜率不存在時，,，直線經過點.

當直線的斜率存在時，設直線，，

直線，當時，，

，聯立得，

，，

下面證明直線經過點，即證， ，

把，代入整理得，

即，

所以直線經過點.